อนุพันธ์ , ในทางคณิตศาสตร์ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ a ฟังก์ชั่น เกี่ยวกับตัวแปร อนุพันธ์เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหาใน แคลคูลัส และสมการเชิงอนุพันธ์ โดยทั่วไป นักวิทยาศาสตร์สังเกตระบบที่เปลี่ยนแปลง ( ระบบไดนามิก ) เพื่อให้ได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของบางส่วน ตัวแปรที่น่าสนใจ นำข้อมูลนี้ไปใส่ในสมการอนุพันธ์ และใช้ and บูรณาการ เทคนิคเพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่สามารถใช้ในการทำนายพฤติกรรมของระบบเดิมภายใต้ หลากหลาย เงื่อนไข
ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถตีความได้ว่าเป็นความชันของกราฟของฟังก์ชัน หรือให้เจาะจงกว่านั้นคือ ความชันของ แทนเจนต์ เส้นที่จุด อันที่จริงการคำนวณนั้นมาจากสูตรความชันของเส้นตรง ยกเว้นว่า a จำกัด ต้องใช้กระบวนการสำหรับเส้นโค้ง ความชันมักแสดงเป็นการเพิ่มขึ้นตลอดการวิ่ง หรือตามเงื่อนไขคาร์ทีเซียน อัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงใน Y สู่การเปลี่ยนแปลง x . สำหรับเส้นตรงที่แสดงในรูป, สูตรของความชันคือ ( Y 1- Y 0) / ( x 1- x 0). อีกวิธีในการแสดงสูตรนี้คือ [ ฉ ( x 0+ ห่า ) - ฉ ( x 0)] / ห่า , ถ้า ห่า ใช้สำหรับ x 1- x 0และ ฉ ( x ) เพื่อ Y . การเปลี่ยนแปลงในสัญกรณ์นี้มีประโยชน์สำหรับการก้าวจากแนวคิดเรื่องความชันของเส้นไปสู่แนวคิดทั่วไปของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ความชันของเส้นตรง สองจุด เช่น ( x 0, Y 0) และ ( x 1, Y 1) กำหนดความชันของเส้นตรง สารานุกรมบริแทนนิกา, Inc.
สำหรับเส้นโค้ง อัตราส่วนนี้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เลือกจุด ซึ่งสะท้อนถึงความจริงที่ว่าเส้นโค้งไม่มีความชันคงที่ ในการหาความชัน ณ จุดที่ต้องการ การเลือกจุดที่สองที่จำเป็นในการคำนวณอัตราส่วนแสดงถึงความยาก เนื่องจากโดยทั่วไป อัตราส่วนจะแสดงเฉพาะความชันเฉลี่ยระหว่างจุด แทนที่จะเป็นความชันจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง ( ดู รูป). เพื่อหลีกเลี่ยงความยากลำบากนี้ a จำกัด ใช้กระบวนการโดยที่จุดที่สองไม่ได้รับการแก้ไข แต่ระบุโดยตัวแปรเช่น ห่า ในอัตราส่วนของเส้นตรงด้านบน หา ขีดจำกัด ในกรณีนี้เป็นกระบวนการหาจำนวนที่อัตราส่วนเข้าใกล้เป็น ห่า เข้าใกล้ 0 เพื่อให้อัตราส่วนจำกัดจะแสดงถึงความชันจริง ณ จุดที่กำหนด การปรับเปลี่ยนบางอย่างต้องทำบนผลหาร [ ฉ ( x 0+ ห่า ) - ฉ ( x 0)] / ห่า เพื่อจะได้เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปลิมิตเป็น ห่า วิธี 0 สามารถมองเห็นได้โดยตรงมากขึ้น พิจารณาตัวอย่างเช่นพาราโบลาที่กำหนดโดย x สอง. ในการหาอนุพันธ์ของ x สองเมื่อไหร่ x คือ 2 ผลหารคือ [(2 + ห่า )สอง- 2สอง] / ห่า . โดยการขยายตัวเศษ ผลหารจะกลายเป็น (4 + 4 ห่า + ห่า สอง- 4) / ห่า = (4 ห่า + ห่า สอง) / ห่า . ทั้งตัวเศษและตัวส่วนยังคงเข้าใกล้ 0 แต่ถ้า ห่า ไม่ใช่ศูนย์จริง ๆ แต่อยู่ใกล้มากเท่านั้น very ห่า แบ่งได้ให้ 4+ ห่า ซึ่งเห็นได้ง่ายเมื่อเข้าใกล้ 4 as ห่า เข้าใกล้ 0
ความชันของเส้นโค้ง ความชันหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง ( x 0, ฉ ( x 0)) สามารถกำหนดได้โดยสังเกตขีดจำกัดของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเป็นจุดที่สอง ( x 0+ ห่า , ฉ ( x 0+ ห่า )) เข้าใกล้จุดเดิม สารานุกรมบริแทนนิกา, Inc.
สรุปได้ว่าอนุพันธ์ของ ฉ ( x ) ที่ x 0, เขียนว่า ฉ ′ ( x 0), ( d ฉ / d x ) ( x 0), หรือ ดี ฉ ( x 0) ถูกกำหนดเป็น หากมีขีดจำกัดนี้
ความแตกต่าง—เช่น การคำนวณอนุพันธ์—ไม่ค่อยต้องใช้คำจำกัดความพื้นฐาน แต่สามารถทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์พื้นฐานสามประการ การใช้กฎการทำงานสี่ข้อ และความรู้เกี่ยวกับวิธีการจัดการฟังก์ชัน
Copyright © สงวนลิขสิทธิ์ | asayamind.com